Mnogi studenti koji proučavaju naprednu matematiku u naprednim predmetima vjerojatno su se pitali: gdje se u praksi koriste diferencijalne jednadžbe? U pravilu se o ovom pitanju ne govori na predavanjima, a nastavnici odmah pristupaju rješenju teorije kontrole bez objašnjavanja studentima uporabe diferencijalnih jednadžbi u stvarnom životu. Pokušat ćemo popuniti ovaj jaz.
Započinjemo definiranjem diferencijalne jednadžbe. Dakle, diferencijalna jednadžba je jednadžba koja povezuje vrijednost derivativne funkcije sa samom funkcijom, vrijednosti neovisne varijable i neke brojeve (parametre).
Najčešće područje u kojem se primjenjuju diferencijalne jednadžbe je matematički opis prirodnih pojava. Oni se također koriste u rješavanju problema u kojima je nemoguće uspostaviti izravan odnos između nekih vrijednosti koje opisuju postupak. Takvi se zadaci pojavljuju u biologiji, fizici i ekonomiji.
U biologiji:
Prvi značajniji matematički model koji opisuje biološke zajednice bio je model Lotka-Volterra. Opisuje populaciju dvije interaktivne vrste. Prvi od njih, zvani grabežljivci, umire u skladu s zakonom x '= –ax (a> 0) u nedostatku drugog, a drugi, žrtve, u nedostatku predatora, neograničeno se množi u skladu s Malthusovim zakonom. Interakcija ove dvije vrste modelirana je na sljedeći način. Žrtve izumiru brzinom jednakom broju susreta predatora i žrtava, a za koji se u ovom modelu pretpostavlja da je proporcionalan broju obje populacije, tj. Jednak je dxy (d> 0). Stoga je y '= by - dxy. Predatori se razmnožavaju brzinom proporcionalnom broju pojedenog plena: x '= –ax + cxy (c> 0). Sustav jednadžbi
x '= –ax + cxy, (1)
y '= by - dxy, (2)
opisujući takvu populaciju, grabežljivac je žrtva i zove se Trays - Volterra sustav (ili model).
U fizici:
Newtonov drugi zakon može se napisati u obliku diferencijalne jednadžbe
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), gdje je m masa tijela, x je njegova koordinata, F (x, t) je sila koja djeluje na tijelo s koordinatom x u trenutku t. Njegovo rješenje je putanja tijela pod djelovanjem naznačene sile.
